Zadania czesc 1 :)

2 zadanka na dzis:
Robotnicy
Dwóch robotników wykonało wspólnie pewną pracę. Gdyby pierwszy z nich wykonał całą pracę sam to pracowałby 3 razy dłużej. Gdyby drugi z nich wykonał całą pracę sam to pracowałby o 6 dni dłużej. Ile dni robotnicy razem wykonywali tą pracę?

Rozwiązanie zadania
Sposób I
Proporcje miedzy pracą pierwszego, drugiego i całą pracąCała praca to 3-krotność pracy pierwszego. Czyli na cała pracę składa się:
praca pierwszego
praca drugiego równa dwukrotności pracy pierwszego
Ile czasu będzie pracował drugi Ale ponieważ drugi wykonując całą pracę sam pracowałby o 6 dni dłużej, więc drugi wykonuje pracę pierwszego w 6 dni. Ponieważ praca drugiego to tyle co 2 prace pierwszego, więc drugi wykonuje swoją część pracy 12 dni (całą pracę wykonałby w 18 dni). Zatem cała praca zostanie wykonana w 12 dni.
Odp: Robotnicy wykonali prace w dwanaście dni. Prawda ze latwe? :P

I drugie zadanko:
Środkowa i wysokość
Udowodnij, że jeżeli wysokość i środkowa trójkąta poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą kąt przy tym wierzchołku na trzy kąty o równych miarach to trójkąt ten jest prostokątny.

Rozwiązanie zadania

Sposób rozwiązania zadaniaPosługując się przystawaniem trójkątów i własnościami trójkąta (suma kątów trójkąta wynosi 180 stopni) obliczymy wszystkie kąty w zależności od kąta alfa i ustalimy proporcje odcinków w zależności od odcinków a oraz b.

Wysokość EFKluczem jest dorysowanie wysokości CF w trójkącie CEB i zauważenie, że trójkąt BEF jest połową trójkąta równobocznego.

Trójkąt równoboczny pozwala obliczyć miary kątówPonieważ trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty równe 60 stopni, więc możemy obliczyć miarę kąta alfa.

Kąt alfa
Z warunków zadania wynika, że alfa = katACD = katDCE = katECB
Przystawanie trójkątów CDA i CDE
Trójkąt CDA jest przystający do trójkąta CDE na zasadzie przystawania trójkątów kbk (kąt bok kąt), gdyż: alfa = katACD = katDCE

Bok h = CD wspólny dla obu trójkątów Kąty CDA i CDE są proste (CD wysokość)
Odcinki trójkątów CDA i CDEZ przystawania trójkątów CDA i CDE otrzymujemy: a = DA = DE b = CA = CE 90 stopni - alfa = katDAC = katDEC
Odcinek EB
Odcinek EB ma długość 2a, gdyż jest równy długości odcinka AE (CE jest środkową)
Wysokość trójkąta BEC
Dorysowując odcinek EF - wysokość w trójkącie BEC otrzymujemy, że trójkąty CEF i CED są przystające na zasadzie kbk (kąt bok kąt), gdyż: alfa = katDCE = katECB Odcinek b = CE jest wspólny dla obu trójkątów 90 stopni - alfa = katCED = katCEF

Długość odcinka EF
Z przystawania trójkątów CEF i CED wynika, że a = EF gdyż odcinki naprzeciw równym kątów są równe w przystających trójkątach. W trójkącie CED naprzeciw kata alfa jest odcinek długości a, zatem, w trójkącie CEF naprzeciw kąta alfa jest również odcinek długości a.

Trójkąt FGB przystający do trójkąta FEBPrzedłużając odcinek EF o długość a otrzymujemy trójkąt FGB przystający do trójkąta FEB na zasadzie przystawania trójkątów bkb: EF = FG = a (odcinek EF został przedłużony o odcinek FG o długości a) 90 stopni = katBFE = katBFG

Odcinek FB jest wspólny dla obu trójkątów

Trójkąt GEB jest równoboczny
Z przystawania trójkątów FGB i FEB wynika, że odcinek GB = EB = 2a (obydwa odcinki leżą naprzeciw kąta 90 stopni). Zatem trójkąt GEB jest równoboczny - wszystkie boki mają długość 2a.

Miara kąta alfa
Zatem kąt GEB ma miarę 60 stopni, czyli: 2*alfa = 60 stopni alfa = 30 stopni

Miara kąta ACB
Zatem kąt ACB ma miarę 90 stopni gdyż jest jego miara to 3*alfa, zaś trójkąt ACB jest prostokątny. c.n.d.