Zadanka

Zadanie 1
Brakująca ryba
Dwaj ojcowie zabrali swoich synów na ryby. Każdy ojciec i syn złapali po jednej rybie, ale kiedy wrócili do obozu zastali tylko trzy ryby. Jak to mogło się stać?(Żadna ryby nie została zjedzona, zgubiona lub wyrzucona).

Rozwiązanie:
Były tylko trzy osoby – syn, jego ojciec oraz jego dziadek!

Zadanie 2
Kanibale
Kanibale w dżungli złapali 3 mężczyzn na wycieczce safari. Kanibale jednak dają im jedną szansę ucieczki, aby nie zostali zjedzeni.
Złapani zostają ustawieni w rząd w kolejności wzrostu oraz przywiązani do pali. Osoba z tyłu widzi plecy dwóch swoich towarzyszy z przodu, osoba środkowa widzi plecy osoby z przodu, a osoba z przodu nie widzi nikogo. Kanibale pokazują mężczyznom 5 kapeluszy. 3 z nich mają kolor czarny, a 2 mają kolor biały.
Na oczy złapanych nałożone zostają opaski oraz kapelusz zostaje położony na głowie każdego zakładnika. Pozostałe dwa kapelusze pozostają ukryte. Następnie opaski zostają zdjęte. Zakładnikom oświadcza się, że jeżeli jeden z nich zgadnie, jakiego koloru jest jego kapelusz, to wszyscy zostaną uwolnieni.
Osoba z tyłu, która widzi oba kapelusze towarzyszy z przodu, ale nie swój - oświadcza, że nie wie. Osoba środkowa, która widzi kapelusz towarzysza z przodu, ale nie swój – oświadcza, że nie wie. Osoba z przodu, która nie widzi żadnego kapelusza oświadcza, że wie, jaki jest kolor jego kapelusza.
Jak jeden z zakładników dowiedział się, jaki jest kolor jego kapelusza i jakiego koloru on był?


ROZWIĄZANIE
Osoba z przodu wiedziała, że nosi czarny kapelusz, gdyż wiedziała, że pierwsza osoba nie widziała 2 białych kapeluszy, oraz że druga osoba nie widziała jednego białego kapelusza, bo gdyby zobaczyła biały kapelusz, to osoba druga wiedziałaby, że ma czarny kapelusz z oświadczenia pierwszej osoby.

Funkcje

Funkcja – sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y.
Ściśle funkcja jest definiowana jako relacja pomiędzy elementami zbioru X (dziedziny) i elementami zbioru Y (przeciwdziedziny), o tej własności, że każdy element zbioru X jest w relacji z jednym i tylko jednym elementem zbioru Y.


Funkcja zdaniowa to wyrażenie językowe zawierające zmienne wolne, które w wyniku związania tych zmiennych kwantyfikatorami lub podstawienia za nie odpowiednich nazw staje się zdaniem.
Dla funkcji (formy) zdaniowej F(x) o jednej zmiennej wolnej x, rozważanej w zbiorze X, wprowadza się pojęcie dziedziny DX(F) lub D(F,X) funkcji zdaniowej, obejmując tą nazwą podzbiór elementów zbioru X o tej własności, że po podstawieniu w funkcji zdaniowej F(x) w miejsce zmiennej x nazw tych elementów otrzymuje się zdanie prawdziwe lub fałszywe.
Każde równanie liczbowe i każda taka nierówność z jedną niewiadomą jest funkcją (formą) zdaniową, której dziedziną jest pewien zbiór liczb. Każde równanie z dwiema lub więcej niewiadomymi jest funkcją zdaniową, której dziedziną jest zbiór par lub trójek lub odpowiednio większej ilości liczb. Jeżeli zdanie F(a) jest prawdziwe, to mówi się, że element a spełnia funkcję zdaniową F(x). Zbiór elementów zbioru X spełniających daną funkcję zdaniową nazywa się ekstensją funkcji zdaniowej lub wykresem formy zdaniowej w X.

Geometria

Geometria - jest częścią matematyki zajmującą się takimi pojęciami, jak punkt, figura, bryła, powierzchnia, odległość, położenie, przestrzeń wielowymiarowa. Podobnie jak inne działy matematyki geometria wyewoluowała od badania kształtów znanych z codziennego życia do studiów nad nieskończenie wymiarowymi abstrakcyjnymi przestrzeniami matematycznymi.

Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dzieło Euklidesa Elementy (ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, arytmetykę oraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułami logiki na podstawie przyjętych pojęć pierwotnych i aksjomatów, których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później.


Punkt to jedno z podstawowych pojęć geometrii. Najmniejszy, bezwymiarowy obiekt geometryczny. Punkt ma zawsze zerowe rozmiary, dwa punkty mogą więc różnić się tylko położeniem. Punkty zaznaczamy na rysunku jako x (krzyżyk), kółko lub kropkę i tradycyjnie oznaczamy wielkimi literami A, B, C,...

Bryła geometryczna – zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej.

Powierzchnia to dwuwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Także potoczne określenie pola powierzchni (np. mówiąc o "powierzchni w km²" mamy na myśli właśnie pole powierzchni).

Figura geometryczna – dowolny zbiór punktów z przestrzeni euklidesowej, np. linia prosta, kula, kwadrat.

Teoria

Garsc definicji

Twierdzenie Talesa
Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Twierdzenie Pitagorasa
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Zadania - procenty

1.Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10% a drugi raz o 5 %. Po obu tych obniżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4.62 zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi podwyżkami.

Rozwiazanie:
x + 10%x + 5%(10%x + x) = 4.62
115.5%x = 4.62 |: 115.5
x = 4

2.Po dwukrotnej podwyżce ceny towaru, za każdym razem o ten sam procent, jego cena końcowa jest o 21% większa od pierwotnej. O ile procent dokonywano każdorazowo podwyżki ceny towaru?

Rozwiazanie:
1,21x = (1+p/100)(1+p/100)x
1,1 = 1 + p/100
0.1 = p/100
p = 10

Zadanka czesc 2 :P

I znow zadanko :)


Pewne auto przejechało z połowę drogi prędkością 40km/h a drugą połowę z prędkością 60km/h . Ile wyniosła średnia prędkość samochodu na całej trasie?

Odp: Srednia prędkość na całej trasie równą sie 48km/h.

Zadania czesc 1 :)

2 zadanka na dzis:
Robotnicy
Dwóch robotników wykonało wspólnie pewną pracę. Gdyby pierwszy z nich wykonał całą pracę sam to pracowałby 3 razy dłużej. Gdyby drugi z nich wykonał całą pracę sam to pracowałby o 6 dni dłużej. Ile dni robotnicy razem wykonywali tą pracę?

Rozwiązanie zadania
Sposób I
Proporcje miedzy pracą pierwszego, drugiego i całą pracąCała praca to 3-krotność pracy pierwszego. Czyli na cała pracę składa się:
praca pierwszego
praca drugiego równa dwukrotności pracy pierwszego
Ile czasu będzie pracował drugi Ale ponieważ drugi wykonując całą pracę sam pracowałby o 6 dni dłużej, więc drugi wykonuje pracę pierwszego w 6 dni. Ponieważ praca drugiego to tyle co 2 prace pierwszego, więc drugi wykonuje swoją część pracy 12 dni (całą pracę wykonałby w 18 dni). Zatem cała praca zostanie wykonana w 12 dni.
Odp: Robotnicy wykonali prace w dwanaście dni. Prawda ze latwe? :P

I drugie zadanko:
Środkowa i wysokość
Udowodnij, że jeżeli wysokość i środkowa trójkąta poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą kąt przy tym wierzchołku na trzy kąty o równych miarach to trójkąt ten jest prostokątny.

Rozwiązanie zadania

Sposób rozwiązania zadaniaPosługując się przystawaniem trójkątów i własnościami trójkąta (suma kątów trójkąta wynosi 180 stopni) obliczymy wszystkie kąty w zależności od kąta alfa i ustalimy proporcje odcinków w zależności od odcinków a oraz b.

Wysokość EFKluczem jest dorysowanie wysokości CF w trójkącie CEB i zauważenie, że trójkąt BEF jest połową trójkąta równobocznego.

Trójkąt równoboczny pozwala obliczyć miary kątówPonieważ trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty równe 60 stopni, więc możemy obliczyć miarę kąta alfa.

Kąt alfa
Z warunków zadania wynika, że alfa = katACD = katDCE = katECB
Przystawanie trójkątów CDA i CDE
Trójkąt CDA jest przystający do trójkąta CDE na zasadzie przystawania trójkątów kbk (kąt bok kąt), gdyż: alfa = katACD = katDCE

Bok h = CD wspólny dla obu trójkątów Kąty CDA i CDE są proste (CD wysokość)
Odcinki trójkątów CDA i CDEZ przystawania trójkątów CDA i CDE otrzymujemy: a = DA = DE b = CA = CE 90 stopni - alfa = katDAC = katDEC
Odcinek EB
Odcinek EB ma długość 2a, gdyż jest równy długości odcinka AE (CE jest środkową)
Wysokość trójkąta BEC
Dorysowując odcinek EF - wysokość w trójkącie BEC otrzymujemy, że trójkąty CEF i CED są przystające na zasadzie kbk (kąt bok kąt), gdyż: alfa = katDCE = katECB Odcinek b = CE jest wspólny dla obu trójkątów 90 stopni - alfa = katCED = katCEF

Długość odcinka EF
Z przystawania trójkątów CEF i CED wynika, że a = EF gdyż odcinki naprzeciw równym kątów są równe w przystających trójkątach. W trójkącie CED naprzeciw kata alfa jest odcinek długości a, zatem, w trójkącie CEF naprzeciw kąta alfa jest również odcinek długości a.

Trójkąt FGB przystający do trójkąta FEBPrzedłużając odcinek EF o długość a otrzymujemy trójkąt FGB przystający do trójkąta FEB na zasadzie przystawania trójkątów bkb: EF = FG = a (odcinek EF został przedłużony o odcinek FG o długości a) 90 stopni = katBFE = katBFG

Odcinek FB jest wspólny dla obu trójkątów

Trójkąt GEB jest równoboczny
Z przystawania trójkątów FGB i FEB wynika, że odcinek GB = EB = 2a (obydwa odcinki leżą naprzeciw kąta 90 stopni). Zatem trójkąt GEB jest równoboczny - wszystkie boki mają długość 2a.

Miara kąta alfa
Zatem kąt GEB ma miarę 60 stopni, czyli: 2*alfa = 60 stopni alfa = 30 stopni

Miara kąta ACB
Zatem kąt ACB ma miarę 90 stopni gdyż jest jego miara to 3*alfa, zaś trójkąt ACB jest prostokątny. c.n.d.

Liczby rzeczywiste

Jak mowilem tak i robie :)

Liczby rzeczywiste – liczby, które reprezentują wartości ciągłe (wraz z zerem i liczbami ujemnymi). Klasycznym modelem zbioru liczb rzeczywistych jest oś liczbowa. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest przez symbol lub po prostu R.

Pojęcie liczby rzeczywistej określa wszystkie rodzaje liczb używane w praktyce codziennej – liczby naturalne, liczby całkowite, ułamki, liczby ujemne, pierwiastki itd.

Moze jakies zadanko bedzie :)

Liczby naturalne

Tym razem liczby naturalne czyli te na ktorych dzialamy :)

Liczby naturalne – liczby używane powszechnie do podawania liczności (na obiedzie były trzy osoby) i ustalania kolejności (był trzeci na liście). Pojęcie liczby naturalnej jest jednym z najstarszych pojęć jakie wytworzyła ludzkość.

Badaniem własności liczb naturalnych zajmuje się arytmetyka i teoria liczb, a ogólniej – algebra.

Historycznie, liczba 0 pojawiła się o wiele później niż 1, 2, 3, ... (i w tym sensie nie jest "naturalna"). Mimo to, w matematyce nie ma jednoznacznie ustalonej konwencji, czy liczby naturalne to 0, 1, 2, ..., czy też 1, 2, 3, ...

Next time....rzeczywiste :)

Porady na mature

Pisząc maturę pamiętaj:
Pisz na temat: komentarze i obliczenia, nawet poprawne, nie mające związku z poleceniem, nie podlegają ocenianiu.

Nie podaj kilku różnych rozwiązań: przyznają ci zero punktów.

Pamiętaj, że brudnopis nie podlega ocenie.

Nie przeceniaj wagi błędów: jeżeli pomylisz się, a dalsza część rozwiązania konsekwentnie wykorzystuje błędny wynik obliczeń, za tę dalszą część możesz uzyskać komplet punktów.

Przedstawiaj nie tylko obliczenia, ale także tok rozumowania.
Zwłaszcza wtedy, gdy zapis nie wynika bezpośrednio z poprzedniego.

Pisz czytelnie i wyraźnie: egzaminator jest też człowiekiem, może być zdenerwowany nieczytelnym pismem i w efekcie niżej oceni pracę.

Nie sugeruj się ilością punktów przyznawanych za zadanie. Dużo punktów, to niekoniecznie trudne zadanie - tak oceniają dane zadanie urzędnicy CKE. Dla Ciebie zadanie ocenione jako trudne, może być zadaniem łatwym.

Nie zapomnij o formalnych ograniczeniach na egzaminie maturalnym:
1) obowiązuje zakaz używania ołówków oraz niebieskich długopisów - wszelkich odpowiedzi (w tym tworzenie rysunków oraz wykresów matematycznych) udzielamy za pomocą czarnego długopisu lub pióra z czarnym atramentem,
2) obowiązuje zakaz używania kalkulatorów z parametrami wykraczającymi poza podstawowy zakres działań matematycznych oraz telefonów komórkowych.

Matematyka

Skora zdaje matme to moze napisze czym ona jest....

Matematyka (gr. mathēmatik z máthēma – poznanie, umiejętność) – nauka skupiona na rozumowaniu dedukcyjnym, czyli dostarczająca narzędzi do badania wniosków z przyjętych założeń. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

Pozniej dodam zadania albo definicje.